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一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法.pdf

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一種 用于 符號 線性 系統 快速 高斯約 消去 方法
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摘要
申請專利號:

CN201510362146.5

申請日:

2015.06.26

公開號:

CN104899183A

公開日:

2015.09.09

當前法律狀態:

實審

有效性:

審中

法律詳情: 實質審查的生效IPC(主分類):G06F 17/16申請日:20150626|||公開
IPC分類號: G06F17/16 主分類號: G06F17/16
申請人: 中國科學院重慶綠色智能技術研究院
發明人: 李軼; 朱廣; 馮勇; 楊文強
地址: 400714重慶市北碚區方正大道266號
優先權:
專利代理機構: 北京同恒源知識產權代理有限公司11275 代理人: 廖曦
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法律狀態
申請(專利)號:

CN201510362146.5

授權公告號:

|||

法律狀態公告日:

2015.10.07|||2015.09.09

法律狀態類型:

實質審查的生效|||公開

摘要

本發明涉及一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,屬于計算機技術領域。本方法包括以下步驟:1)根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出符號矩陣形式的系統狀態空間方程;2)根據矩陣大小確定需要進行消去的次數,利用快速高斯約當消去方法直接構造出系統狀態空間方程化簡為對角矩陣后的準確結果;3)根據一一對應關系,計算出該系統輸入、輸出量之間的數學物理關系。本方法將復雜的高斯約當消去過程通過數學方法分析轉換,直接根據初始的狀態方程計算出化簡后的狀態方程,省去了中間過程的計算;此外,化簡后的矩陣為對角線矩陣,為一一對應關系,減少了其他消去方法的回代過程,極大的提高了計算速度。

權利要求書

權利要求書
1.  一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:包括以下步驟:
步驟一:根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出符號矩陣形式的系統狀態空間方程;
步驟二:根據矩陣大小確定需要進行消去的次數,利用快速高斯約當消去方法直接構造出系統狀態空間方程化簡為對角矩陣后的準確結果;
步驟三:根據一一對應關系,計算出該系統輸入、輸出量之間的數學物理關系。

2.  根據權利要求1所述的一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:步驟一中的根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出的符號矩陣形式系統狀態空間方程的一般形式為:Ax=b,其中,為狀態矩陣,x=[x1 x2 … xn]T為輸出量,b=[b1 b2 … bn]T為輸入量。

3.  根據權利要求2所述的一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:步驟二中的確定需要消去的次數s表述為:由步驟一所得狀態空間方程的增廣矩陣(A|b)=(ai,j)n×m的大小n×m來確定,s=min(n,m),工程中通常n=m-1,s=n。

4.  根據權利要求3所述的一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:步驟二中的快速高斯約當消去方法具體包括以下步驟:
1)初始值設定:定義表示增廣矩陣(A|b)經過k次消去后第i行第j列元素,表示增廣矩陣(A|b)經過k次消去后第i行第j列元素的構造因子;給定當1≤i≤n,1≤j<m時,當1≤i≤n,j=m時,
2)進行第k次消去后(0≤k≤s),
當i>k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=|a110...a1,k0a1,j0&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;ak,10...ak,k0ak,j0ai,10...ai,k0ai,j0|;]]>
當i<k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=|a110...a1,i-10a1,i+10...a1,k0a1,j0a210...a2,i-10a2,i+10...a2,k0a2,j0&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;ak,10...ak,i-10ak,i+10...ak,k0ak,j0|;]]>
3)結合步驟2),增廣矩陣(A|b)進行第k次消去后(0≤k≤s)轉變為(A|b)k,其中(A|b)k的元素滿足:
ai,jk=ai,j(k)ak,k(k-1)i>k,j>kai,j(k-1)ak,k(k-1)i=k,j>kai,j(k)ak,k(k-1)i=k-1,j>k(-1)k-i+1ai,j(k)ak,k(k-1)ik-2,j>k]]>
經過k=s次消去化簡后的系統狀態空間方程對角矩陣形式為:


5.  根據權利要求4所述的一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:在步驟三中,根據步驟二中的化簡結果,同時根據工程系統通常m=n+1,判斷出該系統輸入、輸出量存在一一對應關系,并計算出它們之間的數學物理關系。

說明書

說明書一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法
技術領域
本發明屬于計算機技術領域,涉及一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法。
背景技術
隨著計算機仿真技術的迅猛發展以及虛擬設計的興起,工業生產加工過程中對仿真技術的在適用性、準確性、實時性、可靠性等性能的要求也越來越高。
目前,業界應用的多物理場建模軟件主要包括Simulink、Ansys、MapleSim、Dymola、SimulationX、MWork等,其中主流軟件主要以速度較快的數值計算為主,但其在計算過程中會由于截斷誤差的累積造成精度的降低,以及無法保留化簡結果以便下次計算,無法應用到實時性要求較高的硬件在環檢測技術上。而符號計算雖然能有效的避免中間過程的階段誤差,時不變系統實時性好,能夠便于研發人員研究系統輸入、輸出量之間的關系,但是其計算過程速度慢。
發明內容
有鑒于此,本發明的目的在于提供一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,該方法適用于多物理場建模軟件中的符號線性系統化簡求解,能夠極大的提高線性系統進行快速高斯約當消去符號計算的速度。
為達到上述目的,本發明提供如下技術方案:
一種用于符號線性系統的快速高斯約當消去方法,其特征在于:包括以下步驟:
步驟一:根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出符號矩陣形式的系統狀態空間方程;
步驟二:根據矩陣大小確定需要進行消去的次數,利用快速高斯約當消去方法直接構造出系統狀態空間方程化簡為對角矩陣后的準確結果;
步驟三:根據一一對應關系,計算出該系統輸入、輸出量之間的數學物理關系。
進一步,步驟一中的根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出的符號矩陣形式系統狀態空間方程的一般形式為:Ax=b,其中,為狀態矩陣,x=[x1 x2 … xn]T為輸出量,b=[b1 b2 … bn]T為輸入量。
進一步,步驟二中的確定需要消去的次數s表述為:由步驟一所得狀態空間方程的增廣 矩陣(A|b)=(ai,j)n×m的大小n×m來確定,s=min(n,m),工程中通常n=m-1,s=n。
進一步,步驟二中的快速高斯約當(Gauss-Jordan)消去方法具體包括以下步驟:
1)初始值設定:定義表示增廣矩陣(A|b)經過k次消去后第i行第j列元素,表示增廣矩陣(A|b)經過k次消去后第i行第j列元素的構造因子;給定當1≤i≤n,1≤j<m時,當1≤i≤n,j=m時,
2)進行第k次消去后(0≤k≤s),
當i>k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=a110...a1,k0a1,j0............ak,10...ak,k0ak,j0ai,10...ai,k0ai,j0;]]>
當i<k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=a110...a1,i-10a1,i+10...a1,k0a1,j0a210...a2,i-10a2,i+10...a2,k0a2,j0...............ak,10...ak,i-10ak,i+10...ak,k0ak,j0;]]>
3)結合步驟2),增廣矩陣(A|b)進行第k次消去后(0≤k≤s)轉變為(A|b)k,其中(A|b)k的元素滿足:
ai,jk=ai,j(k)ak,k(k-1)i>k,j>kai,j(k-1)ak,k(k-1)i=k,j>kai,j(k)ak,k(k-1)i=k-1,j>k(-1)k-i+1ai,j(k)ak,k(k-1)ik-2,j>k]]>
經過k=s次消去化簡后的系統狀態空間方程對角矩陣形式為:

進一步,在步驟三中,根據步驟二中的化簡結果,同時根據工程系統通常m=n+1,判斷出該系統輸入、輸出量存在一一對應關系,并計算出它們之間的數學物理關系。
本發明的有益效果在于:本發明所述的方法在化簡速度上遠優于傳統方法,避免了高斯消去法的回代過程,節約了計算時間;同時,符號計算有利于保證計算結果的精度和明確的物理關系,能夠極大的提高線性系統進行快速高斯約當消去符號計算的速度。
附圖說明
為了使本發明的目的、技術方案和有益效果更加清楚,本發明提供如下附圖進行說明:
圖1為本發明所述方法的流程示意圖;
圖2為本發明實施案例示意圖。
具體實施方式
下面將結合附圖,對本發明的優選實施例進行詳細的描述。
圖1為本發明所述方法的流程示意圖,如圖所示,本方法包括以下步驟:步驟一,根據工程系統問題,建立數學物理模型,拉氏變換后構建為線性系統,列出符號矩陣形式的系統狀態空間方程;步驟二,根據矩陣大小確定需要進行消去的次數,利用快速高斯約當消去方法直接構造出系統狀態空間方程化簡為對角矩陣后的準確結果;步驟三,根據一一對應關系,計算出該系統輸入、輸出量之間的數學物理關系。
下面將結合附圖1,對本發明的優選實施例進行詳細的描述:
步驟一中的工程系統的系統狀態空間方程的一般形式為:

其中,x=[x1 x2 … xn]T為狀態變量,y=[y1 y2 … yq]T為輸出變量,u=[u1 u2 … up]T為輸入變量,A=(ai,j(t))n×n為系統矩陣,B=(bi,j(t))n×p為控制、輸入或分布矩陣,C=(ci,j(t))q×n為輸出矩陣,D=(di,j(t))q×p為輸出分布矩陣。
對于時不變系統,拉氏變換線性化后的矩陣形式的系統狀態方程為:
(Is-A)&CenterDot;X(s)=B&CenterDot;U(s)Y(s)=C&CenterDot;X(s)+D&CenterDot;U(s)]]>
結合附圖2,在本實施例中,狀態變量x=y1y&CenterDot;1y2y&CenterDot;2T,]]>輸出變量y=[y1 y2]T,
輸入變量u=[u 1u2]T,系統矩陣A=0100k1m1η1m1-k1m1-η1m1000100k2m2η2m2,]]>控制、輸入或分布矩陣B=0-u1m10-u2m2,]]>輸出矩陣C=[1 0 1 0],輸出分布矩陣D=[0 0]。
針對系統狀態方程,進行拉氏變換后,其增廣矩陣為
((I-A)|(BU(s)))=s-1000-k1m1s-η1m1k1m1η1m1-U1(s)m100s-1000-k2m2s-η2m2-U2(s)m2]]>
所得狀態空間方程的增廣矩陣的大小為4×5,故需要消去的次數s=4。
利用快速高斯約當消去方法對其進行處理:
1)初始值設定:定義表示增廣矩陣((I-A)|(BU(s)))經過k次消去后第i行第j列元素,表示增廣矩陣((I-A)|(BU(s)))經過k次消去后第i行第j列元素的構造因子;給定當1≤i≤4,1≤j<5時,當1≤i≤4,j=5時,
2)進行第k次消去后(0≤k≤4),
當i>k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=a110...a1,k0a1,j0............ak,10...ak,k0ak,j0ai,10...ai,k0ai,j0;]]>
當i<k,j>k時,元素的構造因子ai,j(k)=a110...a1,i-10a1,i+10...a1,k0a1,j0a210...a2,i-10a2,i+10...a2,k0a2,j0...............ak,10...ak,i-10ak,i+10...ak,k0ak,j0;]]>
3)結合步驟2),增廣矩陣((I-A)|(BU(s)))進行第k次消去后(0≤k≤4)轉變為((I-A)|(BU(s)))k,其中((I-A)|(BU(s)))k的元素滿足:
ai,jk=ai,j(k)ak,k(k-1)i>k,j>kai,j(k-1)ak,k(k-1)i=k,j>kai,j(k)ak,k(k-1)i=k-1,j>k(-1)k-i+1ai,j(k)ak,k(k-1)ik-2,j>k]]>
步驟二中的經過4次快速高斯約當消去方法化簡后的系統狀態空間方程對角矩陣形式為:
((I-A)|(BU(s)))4=1000-m2s2U1(s)+η1sU2(s)+η2sU1(s)+k1U2(s)+k2U1(s)(-m2s2+η2s+k2)(-m1s2+η1s+k1)0100s(-m2s2U1(s)+η1sU2(s)+η2sU1(s)+k1U2(s)+k2U1(s))(-m2s2+η2s+k2)(-m1s2+η1s+k1)0010U2(s)-m2s2+η2s+k20001U2(s)s-m2s2+η2s+k2]]>
根據步驟二中的化簡結果由(Ιs-A)·X(s)=B·U(s)可以判斷出該系統輸入、輸出量存在一一對應關系,即
Y1(s)=-m2s2U1(s)+η1sU2(s)+η2sU1(s)+k1U2(s)+k2U1(s)(-m2s2+η2s+k2)(-m1s2+η1s+k1)]]>
Y2(s)=U2(s)-m2s2+η2s+k2]]>
將本發明方法在Maple軟件上編程實現后,對本實施案例進行化簡處理,傳統的高斯約當消去法的程序響應總時間為0.063秒,其中CPU進行的化簡時間0.016秒,而本發明方法的程序總響應時間為0.046秒,其中CPU進行的化簡時間幾乎為0秒。可見,本發明方法在化簡速度上遠優于傳統方法,避免了高斯消去法的回代過程,節約了計算時間;同時,符號計算有利于保證計算結果的精度和明確的物理關系。特別地,有限元分析過程中,網格化后的單元都可以看作是一個個串聯或者并聯的等效的質量——阻尼——彈簧系統,與該實施案例類似,采用本發明方法對其計算精度和計算速度都有很好的保證。
最后說明的是,以上優選實施例僅用以說明本發明的技術方案而非限制,盡管通過上述 優選實施例已經對本發明進行了詳細的描述,但本領域技術人員應當理解,可以在形式上和細節上對其作出各種各樣的改變,而不偏離本發明權利要求書所限定的范圍。

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